sábado, 21 de abril de 2018

Potencia de un punto respecto a una circunferencia


Potencia de un punto respecto a una circunferencia: 
Dado un punto y una circunferencia se denomina potencia del punto respecto de la circunferencia al producto que resulta de multiplicar los segmentos determinados entre el punto y la circunferencia en una recta cualquiera que corta a la circunferencia o sea tangente a ella. Este valor es constante y se demuestra mediante al análisis de los ángulos que se forman.
Tipos de potencia:
b) Cuando las rectas son secantes a la circunferencia:


1. Potencia positiva
2.Potencia negativa
Si el punto es exterior a la circunferencia
Si el punto es interior a la circunferencia


b) Cuando la recta es tangente a la circunferencia, si el punto es exterior a la circunferencia. La potencia es igual al cuadrado del segmento con un extremo en el punto y el otro en el punto de tangencia.



Demostración de la definición potencia (relaciones entre las secantes y la tangente que pasan por un punto exterior o un punto interior a la circunferencia):

Vamos a demostrar que potencia de un punto respecto de una circunferencia es el valor constante del producto de los segmentos determinados sobre una secante o sobre una tangente que pasa por el punto dado (exterior o interior a la circunferencia) y los de intersección de la circunferencia.
Que dicho valor es constante se comprueba observando que los triángulos APB´y A´PB son semejantes, pues tienen iguales los ángulos en y B, y también son iguales los que se forman en P, por tanto:
PA/PB´= PA´/PB;   PA . PB = PA´. PB´ = cte.
1Si P es exterior los pares de segmentos PA, PB; PA´, PB´; tienen el mismo sentido y su producto es positivo, P tiene potencia es positiva. El valor de la potencia positiva es igual al cuadrado del segmento PT de tangente.

      2Si P es interior los pares de segmentos PA, PB; PA´, PB´; tienen sentidos opuestos y su producto es negativo, P tiene potencia es negativa. El valor de la potencia negativa es igual al cuadrado de la semicuerda PT que pasa por P y es perpendicular al diámetro que lo contiene.

3Si P y la recta es tangente, como hemos dicho antes, la potencia es igual al cuadrado del segmento con un extremo en el punto y el otro en el punto de tangencia.
                                         PAPB = PT PT cte.
Los triángulos PAT y PTB, son semejantes, tienen el ángulo P común e iguales los ángulos α por ser, respectivamente, semiinscrito e incrito que abarcan el mismo arco AT.
de esta relación de semejanza se deduce que: PT/PA = PB/PT ; PT2 = PA . PB

El segmento de tangente (desde el punto dado al de contacto) es media proporcional entre los segmentos de una secante cualquiera (comprendidos entre los de intersección con la circunferencia y el punto dado).
Referencias:

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