Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Potencia de un punto respecto a una circunferencia: 
Dado un punto y una circunferencia se denomina potencia del punto respecto de la circunferencia al producto que resulta de multiplicar los segmentos determinados entre el punto y la circunferencia en una recta cualquiera que corta a la circunferencia o sea tangente a ella. Este valor es constante y se demuestra mediante al análisis de los ángulos que se forman.

Tipos de potencia:
b) Cuando las rectas son secantes a la circunferencia:

1. Potencia positiva	2.Potencia negativa
Si el punto es exterior a la circunferencia	Si el punto es interior a la circunferencia

b) Cuando la recta es tangente a la circunferencia, si el punto es exterior a la circunferencia. La potencia es igual al cuadrado del segmento con un extremo en el punto y el otro en el punto de tangencia.

Demostración de la definición potencia (relaciones entre las secantes y la tangente que pasan por un punto exterior o un punto interior a la circunferencia):

Vamos a demostrar que potencia de un punto respecto de una circunferencia es el valor constante del producto de los segmentos determinados sobre una secante o sobre una tangente que pasa por el punto dado (exterior o interior a la circunferencia) y los de intersección de la circunferencia.

Que dicho valor es constante se comprueba observando que los triángulos APB´y A´PB son semejantes, pues tienen iguales los ángulos en B´y B, y también son iguales los que se forman en P, por tanto:

PA/PB´= PA´/PB;   PA . PB = PA´. PB´ = cte.

1. Si P es exterior los pares de segmentos PA, PB; PA´, PB´; tienen el mismo sentido y su producto es positivo, P tiene potencia es positiva. El valor de la potencia positiva es igual al cuadrado del segmento PT de tangente.

      2. Si P es interior los pares de segmentos PA, PB; PA´, PB´; tienen sentidos opuestos y su producto es negativo, P tiene potencia es negativa. El valor de la potencia negativa es igual al cuadrado de la semicuerda PT que pasa por P y es perpendicular al diámetro que lo contiene.

3. Si P y la recta es tangente, como hemos dicho antes, la potencia es igual al cuadrado del segmento con un extremo en el punto y el otro en el punto de tangencia.

                                         PA. PB = PT . PT = cte.

Los triángulos PAT y PTB, son semejantes, tienen el ángulo P común e iguales los ángulos α por ser, respectivamente, semiinscrito e incrito que abarcan el mismo arco AT.

de esta relación de semejanza se deduce que: PT/PA = PB/PT ; PT2 = PA . PB

El segmento de tangente (desde el punto dado al de contacto) es media proporcional entre los segmentos de una secante cualquiera (comprendidos entre los de intersección con la circunferencia y el punto dado).

Referencias:

http://piziadas.com/2012/05/geometria-metrica-generalizacion-del-concepto-de-potencia.html

https://www.geogebra.org/m/XzshvfR7

http://dibujo.ramondelaguila.com/?page_id=2327

Definición de inversión y ejercicios

Conocido un punto fijo I, denominado centro de inversión, un punto A tiene como inverso a otro A´, cuando los tres puntos están alineados y se cumple:

OA . OA´= K

Si los puntos homólogos están en el mismo lado respecto del centro de inversión, la inversión es positiva.

Si se encuentran a cada lado centro de inversión, la inversión es negativa

Si se toman pares de puntos con el mismo centro de inversión resultan concíclicos  (pertenecen a la misma circunterencia):

Esto se puede demostrar con la definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia en la que se cumple:

OA . OA´= OB . OB´= K

Ejercicios:
1.      Dados el centro de inversión O, dos puntos homólogos A, A´ (inversión positiva) y otro punto B no alineado, halla su inverso.
SOLUCIÓN: Se traza la circunferencia que pasa por A, A´, B y prolongando la recta OB se localiza B´ en su intersección con la circunferencia.

2.      Dados el centro de inversión O, dos puntos homólogos A, A´ (inversión negativa)

y otro punto B no alineado, halla su inverso.

SOLUCIÓN: Se traza la circunferencia que pasa por A, A´, B y prolongando la recta OB se localiza B´ en su intersección con la circunferencia.

Ejercicio de Inversión

 

Determinar la inversa de la figura representada (c1, c2, y r), con centro de inversión el punto I, y sabiendo que el punto P es un punto doble